Proporção áurea

É notório que nosso mundo é regido pela Matemática, apesar de muitas pessoas não acreditarem. Existem, entretanto, algumas aparições fascinantes de termos matemáticos no universo, que representam a prova perfeita disso.

Uma delas, a mais famosa, é o número Pi (π). Pegue na sua casa, um prato circular qualquer e uma fita métrica. Agora, meça o comprimento da circunferência do prato, depois seu diâmetro, e divida o primeiro pelo segundo. Faça isso com vários pratos, de tamanhos diferentes. Considerando erros de medição, em todos os casos, o valor será muito próximo de 3,14, o valor arredondado de π.

Se fosse só isso, tudo bem. Mas π também aparece em outras áreas, por exemplo, nas probabilidades. Em um exercício conhecido como a Agulha de Buffon (não, não é o goleiro da seleção da Itália. Buffon foi um matemático francês do século XVIII), em que se coloca uma folha de papel com linhas paralelas, todas com a mesma distância entre si, no chão, e joga-se uma agulha de comprimento igual à distância entre as linhas sobre a folha, a probabilidade de que a agulha caia cruzando uma das linhas é o número 2/π, o que é surpreendente.

Outra aparição matemática interessante, mas menos conhecida que π, é a chamada Proporção Áurea, ou Razão Divina, representada pela letra grega Phi (φ). φ aparece em diversas obras de arte, especialmente pinturas renascentistas e em projetos arquitetônicos na Grécia Antiga, como o Parthenon e o Zeus de Olímpia, erguidas por Fídias, que por ter a primeira letra grega de seu nome φ, foi homenageado na constante.

Mas por quê essa admiração toda por esse número? O que ele tem de especial?

O fato é que φ aparece muitas e muitas vezes na natureza, principalmente, onde menos se espera. Sabe-se que ele está associado ao crescimento, e isso é comprovado analisando, por exemplo, como cresce a população de abelhas numa colméia: a razão entre fêmeas e machos é sempre a Proporção Áurea.

O matemático italiano Fibonacci descobriu que o crescimento de uma população de coelhos cresce de acordo com uma sequência especial, que ficou conhecida como a sequência de Fibonacci. Nela, os dois primeiros termos são iguais a 1, e, a partir do terceiro, todos são iguais à soma dos dois anteriores. A sequência, portanto, é esta: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Se continuarmos essa sequência para valores extremamente grandes, e dividirmos cada termo pelo anterior, veremos que essas divisões tendem a um número. E adivinhem qual é :P. É φ, claro.

O próprio corpo humano é bastante moldado a partir da Razão Divina. Por exemplo, a altura de uma pessoa, e a distância do umbigo ao chão estão nessa razão. Ainda podemos prosseguir. Também têm como razão o número φ: a medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo; o tamanho de um dedo e a distância da dobra central do dedo até a ponta; a medida do quadril ao chão e a medida do joelho ao chão. Todas essas razões vão dar algo em torno de 1,618, valor aproximado de φ, e foram representadas na obra "Homem Vitruviano", de Leonardo da Vinci, que você pode ver lá no começo deste texto.

Apesar de tantas aparições, o que mais chama a atenção é que este número pode ser obtido através de ferramentas matemáticas. Uma dessas formas é foi descoberta por Euclides, o pai da Geometria como a conhecemos.

É como na figura. Queremos dividir o segmento AC com um ponto B, de forma que AC esteja para AB assim como AB estiver para BC. Esta razão é o número φ.

Há estudos que dizem que qualquer coisa que tenha suas medidas na Proporção Áurea entraria em harmonia com a glândula pineal, o que proporcionaria uma sensação de beleza e harmonia para o ser humano. Por isso toda essa procura por φ na arte.

Mais alguns exemplos. Na Literatura, Camões, quando escreveu os Lusíadas, colocou a chegada da frota portuguesa às Indías no ponto que divide a obra na razão divina. Na Arte, a Monalisa, também de Da Vinci, utiliza φ na proporção entre tronco e cabeça, e em alguns elementos do rosto.

Numa maçã (mais um lugar em que nunca se esperaria que φ aparecesse), as sementes estão dispostas num pentagrama (figura obtida traçando as diagonais de um pentágono regular, como na o que está aqui do lado esquerdo). Essa figura tem vários triângulos isósceles menores. A razão entre os lados menores e a base é φ. Da mesma forma, a razão entre as medidas dos lados do pentágono menor formado no centro do pentagrama e do pentágono maior, que o originou, é igual ao quadrado da razão áurea.

Esses era um dos motivos pelo qual os pitagóricos costumavam dizer que "Tudo é número". A natureza se expressa matematicamente para nós. Matemática é, em outras palavras, a linguagem de Deus :P E tem gente que não acha que essa disciplina é apaixonante...

Fontes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%A3o_%C3%A1urea
http://galileu.globo.com/edic/113/eureca.htm
http://veja.abril.com.br/idade/exclusivo/181006/trecho_razao_aurea.html